علم الاحتمالات والإحصائيات
فروع الاحتمالات
مقدمة علم الاحتمالات
القوانين البدائية
المتغيرات العشوائية
الاحتمالات المشروطة
مقاييس النزعة المركزية


مقدمة علم الاحتمالات


المقدمة التاريخية


بدأت الأبحاث الاولية لنظرية الاحتمال في البحث العلمي الغربي في اواخر القرن الخامس عشر، وبالتحديد عام (1494)، حين نشر الرياضي الايطالي «لوسا پاسيولي» «Luca Pacioli»ا (1445 - 1514) عمله «Summa de Arithmatica» والذي ناقش فيه العاب الحظ.

قدم الرياضي الايطالي «جيرولامو كاردانو» «Girolamo Cardano»ا (1501 - 1576)في عمله «Liber de Ludo Aleoe»، والمنشور عام (1663)، جملة من القواعد المساعدة في حل مشكلات العاب الحظ، وتبعه في ذلك مواطنه الرياضي «نيكولو فونتانا تارتاجليا» «Tartaglia Fontana Niccolo»ا (1500 - 1557).

ثم كان للفيزيائي الفلكي الايطالي «جاليليو جاليلي» (1564 - 1642) عام (1606) اسهام في حل مشاكل العاب الحظ والقمار كان قد ضمنه في رسالة له الى صديق مقامر استشاره في ثلاث مشاكل حول العاب الحظ .

وفي اوائل القرن السابع عشر، برز اسم الفيلسوف الانجليزي «فرنسيس باكون» (1561 - 1626) الذي يعد بعد الفيزيائي الانجليزي «وليم جلبرت» (1544 - 1603) والفيزيائي الفلكي الايطالي «جاليليو جاليليي» من ابرز المنادين بالمنهج الاستقرائي وذلك في كتابه «الاورجانون الجديد» (المنشور 1620) الذي ثار فيه على ارسطو وحاول وضع منطق جديد يحل محل المنطق الارسطي.

لكن هذه الاسهامات ظلت اولية وهامشية بالنسبة الى حقيقة البحث في نظرية الاحتمال، والذي لم يتحدد بحدوده العلمية المقننة حتى النصف الثاني من القرن السابع عشر حين ارسل «شيفلييه دي ميريه» في صيف (1654 م) الى العالم الفرنسي «بليز پاسكال» (1623 - 1662) يساله عن الجواب الرياضي الدقيق لمسالتين نشاتا له اثناء المقامرة، عرفت مشكلتهما فيما بعد ب - «مشكلة النقاط»، والمسالتان هما: 1 - ما هو اقل عدد من الرميات يستطيع المرء بعدها ان يتوقع ان يظهر رقم «6» في زهرتي اللعب معا؟ 2 - اذا اوقف اللاعبان لعبهما مختارين قبل نهاية الدور، وبحثا عن تقسيم عادل لما جاء به الحظ لكل منهما، فما نصيب كل منهما تبعا لكسبه الدور في ذلك الوقت؟

بعد ذلك تبادل «پاسكال» الرسائل حولها مع الرياضي الفرنسي «پيير دو فيرما» (1601 - 1665)، وتوصل «پاسكال» - الذي وقف في حله للمسالة عند حد لاعبين اثنين - الى الاجابة عن المسالتين، واجاب «دي ميريه» الجواب الصحيح القائم على اساس رياضي، وتوصل الى اكتشاف طريقتين من طرق حساب الاحتمالات، واكتشف ثالثتهما «فيرما» الذي لم يحصر منهجه بعدد معين من اللاعبين، والذي اعترف له «پاسكال» بسلامة منهجه هذا. وكانت هذه الاجابات عبارة عن اول اشتراك مفصلي للرياضة في نظرية الاحتمالات وطريقة حسابها.

واثناء حله ل«مشكلة النقاط»، اكتشف «پاسكال» اداة لحساب «التوافيق» عرفت فيما بعد في الرياضيات ب - «مثلث پاسكال»، وكان ل«مثلث پاسكال» هذا دور بارز في تحقيق قفزة لصالح نظرية الاحتمال؛ لاعتمادها بشكل اساس على «التوافيق» و «التباديل»

واثر اعمال «پاسكال» و «فيرما» غير المنشورة هذه، تشجع العالم الدانماركي «كريستيان هايكنز»(1629 - 1695) على نشر عمل صغير له حول الاحتمالات في دائرة العاب الحظ والنرد نشره في نهاية كتاب مدرسي في مادة الرياضيات، وقد ضمن عمله هذا 14 نظرية في حل العاب الحظ، تاركا خمسا منها بلاحل ليقوم بوضع حل لها (برنولي) على ما ياتي.

وفي سنة (1679) - اي بعد وفاة «پاسكال» ب(17) عاما -، نشرت ثلاث من الرسائل المتبادلة بينه وبين «فيرما» بعدان كانت قد كتبت سنة (1654). ثم اعيد نشر هذه الرسائل لاحقا ضمن مجموعة مؤلفات «پاسكال» عام (1819).

وفي سنة (1666)، اكتشف العالم الانجليزي «اسحاق نيوتن» (1642 - 1727) نظام العد الخاص به،ولكنه تاخر في نشره الى العام (1687 م).

وقد تمكن الرياضي والفيلسوف الالماني «جوتفريد ويلهلم لايبنتيز» (1646 - 1716) سنة (1675) من اكتشاف المباديء الاساسية لحساب اللامتناهيات بشكل مستقل عن «نيوتن»، لكنه نشرها قبل نشر«نيوتن» لاعماله بثلاث سنوات اي عام (1684).

ثم بعد ذلك برز دور العالم السويسري «جايمس برنولي» (1654 - 1705) في ((332)) كتابه «فن التخمين» والذي نشره ابن اخيه «نيكولا برنولي» سنة (1713 م)، اي بعد ثمان سنوات من وفاة عمه، ويقع الكتاب في اربعة اجزاء، يحظى الجزء الاخير منها - على الرغم من انه تركه ناقصا - باهمية كبرى في مجال تطور نظرية الاحتمالات، وقد تضمن الكتاب بالاضافة الى اكتشاف «برنولي» لقانون التوزيع في «الاعداد الكبيرة»، حلا لخمس من المسائل التي كان «كريستيان هايكنز» قد تركها بلا حلول كما تقدم.

وقد ساهم - الى جانب «برنو» - في تطوير المسائل الرياضية التي ادت فيما بعد الى بلورة وصياغة نظرية الاحتمال، «مونمور» (1678 - 1719) في كتابه عن الحظوظ، والرياضي الفرنسي «ابراهام دو موافر» (1667 - 1754) وهو من اصدقاء «اسحاق نيوتن»، حيث نشر على التوالي سنة (1718)، (1738)، (1756) مساهماته في الاحتمال ضمن كتابه في المصادفة «مبدا الفرص».

وفي هذه الفترة، بدا «دايفد هيوم» (1711 - 1776) بتقويم المنهج الاستقرائي، عبر ما بحثه في مسالتي «العلية» و «القضايا التجريبية».

ثم ياتي دور الرياضي الفرنسي «جين لورون دلامبير» (1717 - 1783) ليثير نقدا على حساب الاحتمالات.

وعام (1763)، نشر كتاب الرياضي الانجليزي «توماس بايز» (1702 - 1761)، وكان «باي» من رواد نظرية الاحتمال حتى صارت له مبرهنة خاصة في الاحتمال عرفت ب«مبرهنة بايز».

وفي سنة (1785)، نشر السياسي والرياضي الفرنسي «ماري كوندورسيه» (1743 - 1794) اهم اعماله، وهو عبارة عن دراسة له حول نظرية الاحتمال.

وسنة (1794) نشر «انسيون»((333)) كتابه حول حساب الاحتمالات، وكانت ملاحظاته منطلقا لمساهمة «كينز» في القرن العشرين.

وكان للرياضي والفيزيائي الالماني «كارل فريدريك جاوس» (1777 - 1855) دور بارز في تحديد اساسيات توزيع الاحتمال حتى لا يزال «المنحنى» البياني للاحتمال يحمل اسمه.

ثم كان للرياضي الفرنسي «سيميون دنيس پواسون» (1781 - 1840) دور في توضيح هذه النظرية، وصار له توزيع في نظرية الاحتمال عرف ب«توزيع پواسون».

وساهم في نظرية تكرار الحدوث، الفلكي والرياضي الفرنسي «پيير سيمون لاپلاس» (1749 -1827) عام (1812 م)، في كتابه «النظرية التحليلية للاحتمالات» حتى عدت اعمال «لاپلاس» الاسهامات الاساس في بلورة نظرية الاحتمال التي دخلت بفضل ابحاثه عصرا جديدا، وتلاه عام(1814) ب«بحث فلسفي حول الاحتمالات».
بدايات البحث المنطقي:


في بداية القرن العشرين، بدا البحث في نظرية الاحتمال ياخذ - الى جانب بعده الرياضي - بعدا فلسفيا منطقيا. وقد سرع في ذلك سير البحث الرياضي عموما نحو الجانب المنطقي. ففي العام (1908)، تعرض الفيلسوف والرياضي الفرنسي «هنري بوانكاريه» (1854 - 1912) الى فلسفة المصادفة في كتابه «العلم والمنهج».

وبين العامين (1910) و (1913)، ظهرت باكورة العمل المشترك بين الفيلسوف الانكليزي «برتراند رسل» (1872 - 1970) واستاذه ومواطنه الرياضي «الفرد نورث وايتهد» (1861 - 1947) في ثلاثة مجلدات باسم «اصول الرياضيات» تاسيسا منهما للمنطق الرياضي. وقد عده بعض الباحثين من اعظم الاعمال الفكرية في تاريخ الفكر البشري ((336))، وكان «راسل» قد سبق ذلك بكتاب «مبادئ الرياضيات» عام (1903).

ثم تعرض «راسل» سنة (1912) لمشكلة الاستقراء في كتابه «مشكلات الفلسفة»، تحت عنوان «في الاستقراء».

وفي عشرينات القرن العشرين، طرح امثال عالم الاحصاء الانجليزي «رونالد فيشر» (1890- 1962) والرياضي النمساوي «ريتشارد فون مايسز» (1883 - 1953) والفيلسوف الفيزيائي الالماني «هانز رايشنباخ» (1891 - 1953) مفاهيم جديدة عن الاحتمال تتفق مع مدلوله الاحصائي لا الاستقرائي.

وسنة (1921) بذل عالم الاقتصاد «جون ماينار كينز» (1883 - 1946) اول محاولة لاعادة احياء مفهوم الاحتمال القديم في كتابه «مقال في الاحتمال» ((337))، وتلاه الجغرافي والفلكي الانجليزي «هارولد جفريز»(1891 - 1989) عام (1939 م) في كتابه «نظرية الاحتمال» في رفضه لمفهوم الاحتمال الاحصائي،والى جانبهم الشاب «فرانك رامزي» (1903 - 1930) متصديا لمحاولات «هيوم» في هدم التجريبية والاستقراء . وقد شكل هؤلاء حركة عرفت باسم «البيزية» نسبة الى العالم متقدم الذكر «توماس بايز». وكان «رامزي» شديد النقد ل«رسل» و «وايتهيد» في كتابهما «اصول الرياضيات»، وقد جمعت مقالاته بعد وفاته ونشرت عام(1931) تحت عنوان «اسس الرياضيات وبحوث منطقية اخرى».

وكان للعالم السوفييتي «اندريه كولموغوروف» (1903 - 1987) عام 1933 دور بارز في تحديد انظمة العد التي تعتمد عليها نظرية الاحتمال، اضافة الى تحديده شروطا يجب ان يحققها الاحتمال، فتحدث عن «الفضاء العيني» و «الاحداث».. وقد عد عمل «كولموغوروف» مساهمة هامة في تطور نظرية الاحتمال.

وفي العام التالي، اي (1934 م)، يطلع علينا فيلسوف العلم النمساوي - الانجليزي «كارل پوپر» (1902 - 1994) بكتابه «منطق البحث» او «منطق الكشف العلمي» - كما اسماه في طبعته الانجليزية - ،والذي لم ير فيه ان الاستقراء دليل مفيد لليقين، بل اعتقد ان الصعوبات المتعددة للمنطق الاستقرائي لا يمكن تخطيها.وكان «پوپر» شديد التحامل على الاستقراء حتى لا تكاد تخلو مقالة او محاضرة له من هجوم على الاستقراء الذي كان يعده خرافة.

وفي العام (1935)، ينشر «هانز رايشنباخ» المتقدم الذكر كتابه «نظرية الاحتمالات»، والذي يبحث فيه حول الاستقراء.

وفي هذه الفترة توالت اعمال مجموعة من العلماء عملوا على التاسيس لبدهيات ((338)) الاحتمال، وكان منهم «فردريك وايزمان» سنة (1931)، «ستيفان مازركيوز» عام (1932)، «جنينا هوزياسون» (1940) و(1941)، «كوپمان» (1940)، «رايت» (1941).

وفي عام (1941) انصرف الفيلسوف الالماني «رودولف كارناپ» (1891 - 1970) الى دراسة الاستقراء ومشكلاته.

وفي هذه الفترة تمكن الفيلسوف الانجليزي «تشارلي دنبر برود» (1887 - 1971) من التاسيس لبدهيتي «الاتصال» و «الانفصال» واللتين نقلهما عنه «رسل» في كتابه الاتي.

وفي سنة (1945)، طلع «كارناپ» بمقالة له تحت عنوان «في المنطق الاستقرائي» نشرها في مجلة «فلسفة العلم»، واخرى عام (1947) تحت عنوان «في تطبيق المنطق الاستقرائي».

وفي عام (1948 م)، يعود «برتراند راسل » الى الساحة مع كتابه «المعرفة الانسانية.. مداها وحدودها» والذي خصص حوالي (80) صفحة منه للبحث حول نظرية الاحتمال. وقد لعب هذاالكتاب دورا بارزا في نقل افكار القارة الغربية الى الشرقية كما ياتي ان شاء الله تعالى.

وفي العام نفسه قدم الفرنسي «پوي سيرفيان» ثلاثة اعمال له حول الاحتمال: «الاحتمالات والفيزياء»، «الاحتمال والكمات» و «الصدفة والرياضيات» (مقال).

ثم اعقبهما «وليم نيل» بعمله «الاحتمال والاستقراء» عام (1949).

وعام (1950) ظهرت احدى اعمق الدراسات حول الاحتمال والاستقراء، وذلك في كتاب «كارناپ» «الاسس المنطقية للاحتمال» الذي تناول فيه المسالة بعمق وتخصص، بعد ان كان «كارناپ» - كما ذكرنا سابقا - قد انصرف الى مشاكل الاحتمال والاستقراء منذ (1941).

وبعد ذلك بعام (1951) نشر «كارناپ» «الطبيعة وتطبيق المنطق الاستقرائي». وفي العام نفسه نشر الدكتور المصري زكي نجيب محمود (1905 - 1993) كتابه المعروف «المنطق الوضعي» الذي تعرض في الفصل الاخير منه الى حساب الاحتمالات، ذاكرا بعض ما عند القوم من نظريات، لكن دون ان ياتي بجديد في المضمار.

وفي عام (1952) اردف «ردولف كارناپ» كتابه السابق ب«سلسلة المناهج الاستقرائية». كما وبحث الفيلسوف الانجليزي المعاصر «پيتر فريديريك ستراوسون» (1919 - ..) مشكلة الاستقراء، محاولا الغاءها في فصل من كتابه «مقدمة نحو النظرية المنطقية».

ولم يكتف «كارناپ» بذلك، فاضاف عام (1955) الى جهوده جهدا آخر في «الاحتمال الاحصائي والاحتمال الاستقرائي».

وعام (1957 م) كتب «سلمون» مؤلفه اي «هل علينا محاولة تبرير الاستقراء؟».

وعام (1965 م) كتب «هاكينغ» مؤلفه «اثبات سلمون للاستقراء»، ثم ناقش «ليفي» «سلمون» و «هاكينغ» معا في «هاكينغ وسلمون حول الاستقراء».

وفي عام(1966) كتب«سكايرمس» مقدمة حول مشكلة «التدليل»، وجمع «فوستر» و«مارتن» معظم المقالات في هذا المجال في كتابهما «Probability, Confirmation and Simplicity».

وفي العام نفسه كتب د. محمود زيدان - الذي صدرت عنه عام (1978 م) الترجمة الموجزة لكتاب «الاسس المنطقية للاستقراء» الى اللغة الانجليزية - كتابه «الاستقراء والمنهج العلمي».

وعام (1967 م)، ناقش «اسحاق ليفي» قواعد القبول الاستقرائية في كتابه «المقامرة مع الحقيقة».


المدخل الرياضي الى نظرية الاحتمال
اولا: تمهيد في تعريف الاحتمال:

على نحو الاختصار نقول: انه قد ذكر للاحتمال تعريفات عديدة بين العرفي والرياضي ودرجة التصديق وغير ذلك. وقد ذكر «ردولف كارناپ» في كتابه «الاسس المنطقية للاحتمال» ان تعريفات الاحتمال كثيرة، وقد نقل عن العالم النمساوي «ارنست ناجل» (1901 - 1985) في كتابه «المبادئ» محاولته لفرزالتعريفات في ثلاث مجموعات:

1 - المفهوم الكلاسيكي للاحتمال، والموضوع من قبل «لاپلاس». 2 - مفهوم الاحتمال بوصفه علاقة ضرورية موضوعية منطقية بين مفردات الاحتمال (Certain Objective Logical Relation)، ويقف على راس هذه المجموعة «جون كينز» و «هارولد جيفري». 3 - مفهوم الاحتمال بوصفه تكرارا نسبيا (Relative Frequncy)، ويبرز ضمن هذه المجموعة دور «ريتشارد فون مايسز» و «هانز رايشنباخ» اللذين لعبا دورا بارزا في «دائرة فينا» الفلسفية.

ثم بسط «كارناپ» الكلام حول مفهومين للاحتمال «احصائي» و «استقرائي».
ثانيا: مبادئ نظرية الاحتمال:
اهم المبادئ التي تقوم عليها نظرية الاحتمال:
المتواليات العددية/الحسابية : ِArithmetical Progression


يقال بان عدة اعداد تشكل متوالية عددية اذا كان كل عدد من هذه الاعداد مساويا للعدد السابق له مضافا اليه عدد ثابت(موجب او سالب) يسمى ب«اساس المتوالية» ويرمز له ب«r». ويطلق على كل عدد من اعداد المتوالية اسم «الحد»، ويرمز للحد الاول ب«a»، ويسمى الحد الاخير منها ب«الحد النوني» ويرمز له ب«an»، كما ويرمز الى عدد الحدودب - «n»، ومجموع المتواليات ب«S».

وبشكل عام يمكن كتابة المتوالية العددية على النحو التالي: (a1, (a1+r), (a1+2r), (a1+3r), ...a1+(n-1)r)

ويهمنا قاعدتان: 1 - الحد النوني (الاخير): an=a1+(n-1)r 2 - مجموع المتواليات: S=n(a1+an)/2ا .


عاملي Factorial
التباديل - التراتيب Permutation
التوافيق Combinations
نظرية الإحتمالات
التجربة العشوائية Random Experiment
تعاريف في نظرية الإحتمال


احتمال شرطي

نفرض أن E حدث اختياري ما ضمن فضاء العينة S بحيث . عندئذ نعرف احتمال وقوع الحدث A بفرض أن E قد وقع أو بعبارة أخرى الاحتمال الشرطي للحدث Aعند وقوع E 

تعاريف

الإحتمال الشرطي Conditional هو احتمال الحدث A بعد افتراض وقوع الحدث B .

الإحتمال التشاركي أو الإقتراني Joint لحدثين A و B هو احتمال حصول الحدثين معا .

الإحتمال الحدي Marginal هو احتمال حدث ما مع اهمال أي معلومات عن الحدث الاخر .




مقاييس النزعة المركزية

مقاييس النزعة المركزية الوسط والوسيط والمنوال

الوسط الحسابي:

خواص الوسط الحسابي
يعتمد على جميع القيم والمشاهدات
هو نقطة اتزان المشاهداتن
مربع الانحرافات اقل ما يمكن عن الوسط
اقل مقاييس النزعة المركزية تأثرا بالتقلبات العينية
يتأثر بالقيم المتطرفة والقيم الشاذة لذا لا يصلح للتوزيعات الملتوية
لا يصلح في حالة الفئات المفتوحة ( لعدم وجود مركز فئة)


الوسيط:
لا يتأثر بالقيم المتطرفة
يستخدم في التوزيعات الملتوية
يفضل استخدامه في حالة الفئات المفتوحة
يأتي بعد الوسط في تأثره بالتقلبات العينية


المنوال
غير ثابت
يتأثر بطول الفئة
يفضل عندما يكون المقياس اسمي
لا يعتمد عليه في حالة الاحصاءات اللاحقة