قائمة الروابط

مسائل الفصل الاول

 

س1 : لدينا العملية  المعرفة على  على النحو :

                            

المطلوب :

a)     هل  على تمتلك الخاصية الابدالية؟

b)    هل  على تمتلك الخاصية التجميعية؟

c)     هل  على تمتلك العنصر المحايد؟

d)    لاي عناصر في  يوجد نظير(عكسي) بالنسبة للعملية ؟

 

الحل : a) لكون

                  

       فأن تمثل عملية ابدالية .

b)                                            

                       

من  و  نجد ان

                            

وعليه فأن عملية تجميعية .

c) من كون العملية  تمتلك الخاصية الابدالية ومن المساواة

                  

ومن وحدانية العنصر المحايد فأن وعليه فأن  هو العنصر المحايد للعملية .

e)     من كون عملية ابدالية فأن  واذا وجد عنصر نظير فأن  وحيث ان العنصر المحايد كان  يصبح :

                       

واذا كان             

فأن العنصر النظير هو 

واذا كان

وهذا ليس ممكنا وعليه

                         

مثال ذلك لايجاد النظير الضربي للعنصرين

أي ومن كون         

فأنه يصبح

                       

 

س2 : لدينا العملية  المعرفة على النحو :

                                       

a)     لاي عدد ينتمي الى ليس له نظير بالنسبة للعملية ؟

b)    اوجد نظير العددين ؟

 

الحل : a) الحقيقة انه اذا كان

                  

                   

اي ان العدد  ليس له معكوس ضربي .

c)     من كون  فأنه يصبح

             

 

س 3 : جد مجموعة حل المعادلة  حيث  عملية معرفة على النحو :

                       

             هي عملية الاعداد النسبية.

 

الحل : من كون  , لنجد معكوس العدد 5 .

الطريقة الاولى : من كون

                            

الطريقة الثانية : من كون

                            

ينتج                                           

وعليه فأن حل المعادلة

                   

التحقق : 

س 4 : لدينا العملية  المعرفة على المجموعة

          بالجدول ادناه والمطلوب :

a)     هل العملية  مغلقة على المجموعة  ؟

b)    هل  تحقق الخاصية الابدالية ؟

c)     هل  تحقق الخاصية التجميعية ؟

d)    هل  تمتلك العنصر المحايد على  ؟

e)     هل يوجد لعناصر  عنصر نظير في  ؟

f)      حل المعادلة  ؟

g)     حل المعادلة  ؟

h)    اوجد ناتج العملية  ؟

 

الحل : a) من كون

          فأن عملية  على  مغلقة .

b) من الجدول ومن كون ان

          نلاحظ ان  تحقق الخاصية الابدالية .

c) بما ان

         

نلاحظ ان المثلث  تحقق الخاصية التجميعية.

d)

f) بأستخدام الجدول

                  

العنصر المحايد                       

                                                         

g) بالنظر للجدول

                  

العنصر المحايد  

                            

h) بالنظر للجدول

                  

 

س 2 : اثبت انه اذا كانت لدينا العملية  المعرفة على  وكان لهذه العملية عنصر محايد فأنه وحيد؟

 

الحل : نفرض ان هناك عنصران محايدان للعملية  على  هما

                            

         

من  ,  نجد ان 

وعليه فأذا اوجد للعملية  على  عنصر محايد فهو وحيد .

 

س 3 : لدينا العملية والمعرفة على المجموعة وكانت تحقق الخاصية التجمعية وتمتلك العنصر المحايد واذا كان عنصر نظير فأثبت انه وحيد ؟

 

الحل : ليكن وحسب العملية  نفرض انه يوجد عنصران نظيران هما

          للعنصر بحيث ان :

                            

لذا نجد انه                                    

وبحسب العملية  , وعليه فان العنصر النظير وحيد.

 

س 4 : ابحث في العلاقة العملية عملية الضرب على المجموعات ادناه؟

         

 

الحل : بالنسبة للاقسام فان المجموعات مغلقة بالنسبة للعملية لان ناتج الضرب هي عناصر تنتمي لنفس المجموعة .

         

س 5 : اذا كانت العملية  عملية ثنائية مغلقة على المجموعة وانها تحقق الخاصية الابدالية والتجميعية وتمتلك العنصر المحايد  وكان كل عنصر في  يمتلك العنصر النظير فأثبت انه

 

الحل :

         

الخاصية التجميعية

         

الخاصية التجميعية                 

                   

من و ومن كون ان معكوس وحيد فأنه يصبح

                            

 

س 6 : لدينا  المعرفة على على النحو  فلاي عناصر لها عناصر نظيره بالنسبة للعملية ؟

 

الحل : نعمل على ايجاد الذي يحقق العلاقة على النحو

         

وعليه فأن

واذا مااخذنا , وحسب العملية كان له نظير فأن

         

فأنه يوجد

وعندما  فأن وهذا غير معقول وعليه فليس للعنصر عنصر نظير.

 

س 7 : لدينا العملية  المعرفة على حيث على النحو التالي : هل عملية مغلقة على ؟

الحل :  لان  فأن العملية  ليست مغلقة على  .

 

س 8 :  لدينا المجموعة والعملية  المعرفة على النحو  .

a) هل  تمتلك الخاصية الابدالية على  ؟

b) هل  تمتلك الخاصية التجميعية على  ؟

 

الحل : a) ليكن

         

وعليه فان ليست ابدالية.

b) ليكن         

         

من  و                                  

فأن  لايحقق الخاصية التجميعية .

 

س 9 : لدينا المجموعة

          والعملية  معرفة على على النحو والمطلوب :

a)     هل  مغلقة على ؟

b)    هل تحقق الخاصية الابدالية ؟

c)     هل  تحقق الخاصية التجميعية ؟

d)    هل تمتلك  العنصر المحايد ؟

e)     هل يمتلك كل عنصر في العنصر النظير ؟

 

الحل : a) من كون

          فأن العملية  على مغلقة .

b) من كون

فأن لاتحقق الخاصية الابدالية .

c)

         

من و  فان

وعليه  تحقق الخاصية التجميعية .

d)    لايوجد عنصر المحايد لهذه العملية .

e)     من كون ان  لاتمتلك عنصرا محايدا فليس لكل عنصر في نظير .

 

س 10 : لدينا العملية المعرفة على على النحو

          باقي قسمة  والمطلوب :

a)     اكتب جدول العملية  ؟

b)    هل عملية ثنائية مغلقة ؟

c)     هل  تحقق الخاصية الابدالية ؟

d)    هل  تحقق الخاصية التجميعية ؟

e)     هل  تمتلك العنصر المحايد ؟

f)      هل يمتلك كل عنصر في عنصرا نظيرا.

 

الحل : a) الجدول ادناه يمثل جدول العملية  .

b) لان

فأن  ثنائية مغلقة .

c) بالنظر للجدول ولانه متماثل حول القطر فأن  ابدالية .

d) لان

         

وعليه فان  تحقق الخاصية التجميعية .

e) نرى من الجدول ان العنصر المحايد

f) نرى من الجدول ان لكل عنصر نظير أي ان

                  

الفصل الثاني

 

س 1 : لدينا العملية عملية ثنائية معرفة على  على النحو التالي :

                  

          بين ان النظام الرياضي يشكل زمرة ابدالية ؟

 

الحل : نبدأ بتحقيق شروط الزمرة على النحو التالي :

1)     

وبالمثل

من  و  نلاحظ ان

أي ان على تحقق خاصية التجميع .

 

2) من الملاحظ ان تمتلك عنصرا محايدا وهو 2 حيث

                            

 

3) ان النظام هو نظام متناظر أي يوجد لكل عنصر نظير حيث

                            

 

4) ان تحقق الخنصية الابدالية على  حيث :

                            

من  و  نلاحظ ان

                            

ولتوفر الشروط السابقة فأن النظام  يشكل زمرة ابدالية.

س 2 : لدينا العملية الثنائية  المعرفة على  على النحو التالي :

                            

          فهل النظام يشكل زمرة ابدالية مع توضيح كل خطوة ؟

 

الحل : نبدأ بالتحقق من شروط الزمرة.

1)

         

من  و  نلاحظ ان

                            

أي ان  لاتحقق الخاصية التجميعية ولعدم توفر احد شروط الزمرة لذا فأن النظام

لايشكل زمرة .

 

س 3 : لتكن عملية ثنائية معرفة على المجموعة على النحو التالي :

                            

          بين ان

a)     هل النظام تشكل زمرة ؟ وهل هي زمرة ابدالية ؟

b)    حل المعادلة في  ؟

 

الحل : a) نبدأ اولا بالتحقق من شروط الزمرة :

1) نجد اولا :

         

من  و  نلاحظ ان

                            

أي ان  تحقق الخاصية التجميعية على .

2) نبحث فيما اذا كانت  تمتلك عنصرا محايدا وليكن

                            

أي ان  تمتلك العنصر المحايد  .

 

3) نبحث عن وجود العنصر العكسي لكل عنصر في  على النحو

                            

ولتوفر الشروط السابقة فأن النظام الرياضي يشكل زمرة.

 

4) للبحث فيما اذا كانت الزمرة ابدالية نبحث في تحقق الشرط

         

من  و  نلاحظ ان

                            

وهذا يعني ان  تشكل زمرة ابدالية .

 

س 4 : بين ان النظام الرياضي حيث  هي عملية تشكل زمرة ابدالية ؟

 

الحل : نبدأ اولا بتشكيل جدول يمثل عملية الضرب على المجموعة على النحو                                                        

 

 

                                               

 

ومن الجدول اعلاه نلاحظ ان عملية الضرب ثنائية مغلقة على .

نبدأ بالتحقق من شروط الزمرة.

1) نـأخذ ثلاثة عناصر تنتمي للمجموعة .

                  

 

من  و  نلاحظ ان  عملية الضرب  تحقق الخاصية التجميعية .

 

2) بما ان عناصر الصف الاول بقيت كما هي وعليه فأن العنصر المحايد هو 1.

 

3) بالنظر للجدول وحسب قاعدة العنصر النظير فأن عناصر المجموعة  وهي نظائرها على الترتيب هي .

 

4) لدينا

                  

 

من  و فأن الضرب على ابدالي .

ولتوفر الشروط السابقة فأن النظام الرياضي تشكل زمرة ابدالية .

 

س 5 : بين ان مجموعة الاقترانات المتصلة على الفترة وعملية الجمع المعرفة على النحو تشكل تشكل زمرة ,

 

الحل : المجموعة المعطاة

ولاثبات ان المجموعة  مع عملية الجمع المعرفة كما هو اعلاه علينا التأكد من انها تحقق شروط الزمرة .

1)    خاصية الانغلاق : كما هو معروف في الاقترانات المتصلة بأن مجموع اقترانين متصلين هو متصل ايضا.وكذلك مجموع قيمتين حقيقين هي قيمة حقيقية ايضا لهذا

                              

وهذا يوضح ان اقتران متصل على  يعني :

                       

لذا فأن مغلقة لعملية الجمع المعرفة ثم نبدأ بمناقشة الشروط الاخرى

 

2)    اذا كان فأن

                                 

من الخاصية التجميعية للاعداد الحقيقية.

                                 

 

3)    دعنا نعرف الاقتران على النحو :

                                          

وعليه فأن هو اقتران متصل على ينتمي الى  لذا

                       

(بما ان  هو المحايد الجمعي لمجموعة الاعداد الحقيقية )

                       

لذا فأن  هو محايد جمعي لمجموعة الاقترانات .

 

4)    لكل نعرف اقترانا اخر على النحو :

                       

   وعليه فأن  اقتران متصل على ينتمي الى  والان :

                            

بحيث ان

                  

وعليه يعتبر الاقتران النظير الجمعي للاقتران .

ولتوفر الشروط السابقة فأن  تشكل زمرة .

ولاثبات انها زمرة ابدالية تحقق شرط الابدال وهو

                  

الفصل الثاني

 

س 1 : لدينا العملية عملية ثنائية معرفة على  على النحو التالي :

                  

          بين ان النظام الرياضي يشكل زمرة ابدالية ؟

 

الحل : نبدأ بتحقيق شروط الزمرة على النحو التالي :

1)     

وبالمثل

من  و  نلاحظ ان

أي ان على تحقق خاصية التجميع .

 

2) من الملاحظ ان تمتلك عنصرا محايدا وهو 2 حيث

                            

 

3) ان النظام هو نظام متناظر أي يوجد لكل عنصر نظير حيث

                            

 

4) ان تحقق الخنصية الابدالية على  حيث :

                            

من  و  نلاحظ ان

                            

ولتوفر الشروط السابقة فأن النظام  يشكل زمرة ابدالية.

س 2 : لدينا العملية الثنائية  المعرفة على  على النحو التالي :

                            

          فهل النظام يشكل زمرة ابدالية مع توضيح كل خطوة ؟

 

الحل : نبدأ بالتحقق من شروط الزمرة.

1)

         

من  و  نلاحظ ان

                            

أي ان  لاتحقق الخاصية التجميعية ولعدم توفر احد شروط الزمرة لذا فأن النظام

لايشكل زمرة .

 

س 3 : لتكن عملية ثنائية معرفة على المجموعة على النحو التالي :

                            

          بين ان

a)     هل النظام تشكل زمرة ؟ وهل هي زمرة ابدالية ؟

b)    حل المعادلة في  ؟

 

الحل : a) نبدأ اولا بالتحقق من شروط الزمرة :

1) نجد اولا :

         

من  و  نلاحظ ان

                            

أي ان  تحقق الخاصية التجميعية على .

2) نبحث فيما اذا كانت  تمتلك عنصرا محايدا وليكن

                            

أي ان  تمتلك العنصر المحايد  .

 

3) نبحث عن وجود العنصر العكسي لكل عنصر في  على النحو

                            

ولتوفر الشروط السابقة فأن النظام الرياضي يشكل زمرة.

 

4) للبحث فيما اذا كانت الزمرة ابدالية نبحث في تحقق الشرط

         

من  و  نلاحظ ان

                            

وهذا يعني ان  تشكل زمرة ابدالية .

 

س 4 : بين ان النظام الرياضي حيث  هي عملية تشكل زمرة ابدالية ؟

 

الحل : نبدأ اولا بتشكيل جدول يمثل عملية الضرب على المجموعة على النحو                                                        

 

 

                                               

 

ومن الجدول اعلاه نلاحظ ان عملية الضرب ثنائية مغلقة على .

نبدأ بالتحقق من شروط الزمرة.

1) نـأخذ ثلاثة عناصر تنتمي للمجموعة .

                  

 

من  و  نلاحظ ان  عملية الضرب  تحقق الخاصية التجميعية .

 

2) بما ان عناصر الصف الاول بقيت كما هي وعليه فأن العنصر المحايد هو 1.

 

3) بالنظر للجدول وحسب قاعدة العنصر النظير فأن عناصر المجموعة  وهي نظائرها على الترتيب هي .

 

4) لدينا

                  

 

من  و فأن الضرب على ابدالي .

ولتوفر الشروط السابقة فأن النظام الرياضي تشكل زمرة ابدالية .

 

س 5 : بين ان مجموعة الاقترانات المتصلة على الفترة وعملية الجمع المعرفة على النحو تشكل تشكل زمرة ,

 

الحل : المجموعة المعطاة

ولاثبات ان المجموعة  مع عملية الجمع المعرفة كما هو اعلاه علينا التأكد من انها تحقق شروط الزمرة .

1)    خاصية الانغلاق : كما هو معروف في الاقترانات المتصلة بأن مجموع اقترانين متصلين هو متصل ايضا.وكذلك مجموع قيمتين حقيقين هي قيمة حقيقية ايضا لهذا

                              

وهذا يوضح ان اقتران متصل على  يعني :

                       

لذا فأن مغلقة لعملية الجمع المعرفة ثم نبدأ بمناقشة الشروط الاخرى

 

2)    اذا كان فأن

                                 

من الخاصية التجميعية للاعداد الحقيقية.

                                 

 

3)    دعنا نعرف الاقتران على النحو :

                                          

وعليه فأن هو اقتران متصل على ينتمي الى  لذا

                       

(بما ان  هو المحايد الجمعي لمجموعة الاعداد الحقيقية )

                       

لذا فأن  هو محايد جمعي لمجموعة الاقترانات .

 

4)    لكل نعرف اقترانا اخر على النحو :

                       

   وعليه فأن  اقتران متصل على ينتمي الى  والان :

                            

بحيث ان

                  

وعليه يعتبر الاقتران النظير الجمعي للاقتران .

ولتوفر الشروط السابقة فأن  تشكل زمرة .

ولاثبات انها زمرة ابدالية تحقق شرط الابدال وهو

اسئلة واجوبة على الفصل الثالث

 

س 1 : لتكن وزمرة الاعداد الصحيحة بالنسبة لعملية الجمع العادية . ولتكن  بحيث ان فهل  زمرة جزئية من الزمرة ؟

 

الحل : يعتبر النظام الرياضي زمرة جزئية من النظام الرياضي  وذلك للاسباب التالية :

1)    اذا كان

     اذن المجموعة مغلقة تحت عملية الجمع .

2)    اذا كان

    وذلك لان الاعداد  اعداد صحيحة ولان عملية الجمع تجميعية على  وبالتالي فهي تجميعية على .

3)    بما ان وهو العنصر المحايد بالنسبة لعملية الجمع في وكذلك

                                          

    وعليه فأن العنصر المحايد في هو .

4)    اذا كان فأن هو النظير الجمعي بالنسبة لعملية الجمع في .

ونظرا لان ولتوفر جميع شرو تعريف الزمرة في النظام فأن زمرة جزئية من الزمرة .

 

س 2 : لتكن زمرة الاعداد الصحيحة بالنسبة لعملية الجمع العادية ولتكن فهل يشكل زمرة جزئية من الزمرة ؟

 

الحل : اذا كان فأن :

             

لذا فأن المجموعة ليست مغلقة تحت عملية الجمع العادية ولعدم توفر احد شروط الزمرة في النظام رغم ان فالنظام  لايشكل زمرة جزئية .

 

س 3 : لتكن  زمرة الاعداد الصحيحة بالنسبة لعملية الجمع العادية  ولتكن فهل يشكل زمرة جزئية من الزمرة ؟

الحل : النظام يشكل زمرة جزئية من الزمرة لان :

1)    اذا كان

     اذن المجموعة مغلقة تحت عملية الجمع .

2)    اذا كان فأن

    

من ,  نلاحظ ان :

                       

وهذا مايحقق الخاصية التجميعية .

3)    بما ان العنصر المحايد بالنسبة لعملية الجمع هو في وانها وعليه فان هو المحايد الجمعي للنظام .

4)    اذا كان فأن ايضا ويعتبر هو نظير  بالنسبة لعملية الجمع العادية في .

ولان ولتوفر شروط تعريف الزمرة فأن الزمرة زمرة جزئية من الزمرة .

 

س 4 : اذا كانت وكانت عملية الضرب الساعاتي بالنسبة للعدد 5 وكان يشكل زمرة فهل النظم الرياضية التالية :

 

 

الحل : a) نشكل جدول البواقي بالنسبة للعدد 5 على النحو التالي :

                       

     ثم نيدأ بتحقيق شروط الزمرة .

1)    بالنظر للجدول جانبا نلاحظ ان جميع العناصر الناتجة عن العملية  هي عناصر تنتمي للمجموعة وعليه فهي مقفلة بالنسبة للعملية .

2)    توفر العنصر المحايد وهو 1 لان

3)    توفر العنصر النظير لكل عنصر على النحو

                                          

4)

                                 

اذن النظام  يحقق الخاصية التجميعية .

ولتوفر شروط الزمرة وكذلك لان لذلك فأن  هي زمرة جزئية من نفسها .

 

b) بالنسبة للنظام  نكون اولا جدولا لهذا النظام على النحو :

                                 

العملية مغلقة على المجموعة وتمتلك العنصر المحايد وهو 1 ونظير العنصر المحايد هو نفسه وكذلك فهي تجميعية . لذلك فأن النظام يشكل زمرة وبما ان فالنظام هو زمرة جزئية من الزمرة الاصلية .

 

c) نكون جدول العملية للنظام على النحو :

                                          

عملية  ليست مغلقة لان العنصر وعليه فالنظام

لايشكل زمرة جزئية من الزمرة الاصلية .

 

d) نشكل جدول العملية  على العملية على النحو :

                       

من الجدول نلاحظ ان العنصر وعليه فالعملية ليست مغلقة على المجموعة .

2) نشكل جدول العملية :

                                 

نلاحظ من الجدول ان العملية ليست مغلقة على المجموعة  لان  فأن النظام لايشكل زمرة جزئية من .

 

f) نكون جدول العملية على المجموعة على النحو :

                       

بالنظر للجدول نلاحظ ان النظام يحقق شروط الزمرة .

وبما ان فأن النظام زمرة جزئية من .

 

g) نكون جدول العملية على المجموعة على النحو

                       

نلاحظ من الجدول ان العملية ليست ثنائية مغلقة على المجموعة  وبالتالي فهي ليست زمرة جزئية من الزمرة .

 

س 5 : لتكن  مجموعة المصفوفات المربعة من الرتبة 2 أي ان

                       

حيث  مجموعة الاعداد الحقيقية .

ولتكن العملية عملية الجمع العادية للمصفوفات أي ان

                       

ولتكن المصفوفة وهي المصفوفة المتماثلة .

فهل تعتبر الزمرة زمرة جزئية من الزمرة ؟

 

الحل : ليكن لدينا المصفوفتين

             

    

وهذه مصفوفة متماثلة من الرتبة 2.

                                          

اذن زمرة جزئية من الزمرة

 

 

س 6 : لتكن زمرة الاعداد الصحيحة بالنسبة لعملية الجمع العادية ولتكن حيث مجموعة الاعداد الصحيحة الزوجية فهل زمرة جزئية من الزمرة .

 

الحل : وان تمتلك نفس العنصر المحايد وعليه فأن زمرة جزئية من الزمرة .

 

س 7 : ليكن النظام حيث مجموعة الاعداد الفردية ,+ هي عملية الجمع الاعتيادية .فهل النظام يشكل زمرة جزئية من الزمرة .

 

الحل : نعلم ان

       وعليه فأن النظام لايشكل زمرة وبالتالي فأن لايشكل زمرة جزئية من الزمرة .

 

 

س 8 : هل زمرة جزئية من الزمرة  ؟

 

الحل : على الرغم من ان  الاان العنصر المحايد بالنسبة للعملية الاولى هو الصفر بينما بالنسبة لعملية الضرب فهو 1 ولاختلاف المحايدين وحسب تعريف الزمرة الجزئية فأن هذا تناقض ؟

اسئلة واجوبة على الفصل الثالث

 

س 1 : لتكن وزمرة الاعداد الصحيحة بالنسبة لعملية الجمع العادية . ولتكن  بحيث ان فهل  زمرة جزئية من الزمرة ؟

 

الحل : يعتبر النظام الرياضي زمرة جزئية من النظام الرياضي  وذلك للاسباب التالية :

1)    اذا كان

     اذن المجموعة مغلقة تحت عملية الجمع .

2)    اذا كان

    وذلك لان الاعداد  اعداد صحيحة ولان عملية الجمع تجميعية على  وبالتالي فهي تجميعية على .

3)    بما ان وهو العنصر المحايد بالنسبة لعملية الجمع في وكذلك

                                          

    وعليه فأن العنصر المحايد في هو .

4)    اذا كان فأن هو النظير الجمعي بالنسبة لعملية الجمع في .

ونظرا لان ولتوفر جميع شرو تعريف الزمرة في النظام فأن زمرة جزئية من الزمرة .

 

س 2 : لتكن زمرة الاعداد الصحيحة بالنسبة لعملية الجمع العادية ولتكن فهل يشكل زمرة جزئية من الزمرة ؟

 

الحل : اذا كان فأن :

             

لذا فأن المجموعة ليست مغلقة تحت عملية الجمع العادية ولعدم توفر احد شروط الزمرة في النظام رغم ان فالنظام  لايشكل زمرة جزئية .

 

س 3 : لتكن  زمرة الاعداد الصحيحة بالنسبة لعملية الجمع العادية  ولتكن فهل يشكل زمرة جزئية من الزمرة ؟

الحل : النظام يشكل زمرة جزئية من الزمرة لان :

1)    اذا كان

     اذن المجموعة مغلقة تحت عملية الجمع .

2)    اذا كان فأن

    

من ,  نلاحظ ان :

                       

وهذا مايحقق الخاصية التجميعية .

3)    بما ان العنصر المحايد بالنسبة لعملية الجمع هو في وانها وعليه فان هو المحايد الجمعي للنظام .

4)    اذا كان فأن ايضا ويعتبر هو نظير  بالنسبة لعملية الجمع العادية في .

ولان ولتوفر شروط تعريف الزمرة فأن الزمرة زمرة جزئية من الزمرة .

 

س 4 : اذا كانت وكانت عملية الضرب الساعاتي بالنسبة للعدد 5 وكان يشكل زمرة فهل النظم الرياضية التالية :

 

 

الحل : a) نشكل جدول البواقي بالنسبة للعدد 5 على النحو التالي :

                       

     ثم نيدأ بتحقيق شروط الزمرة .

1)    بالنظر للجدول جانبا نلاحظ ان جميع العناصر الناتجة عن العملية  هي عناصر تنتمي للمجموعة وعليه فهي مقفلة بالنسبة للعملية .

2)    توفر العنصر المحايد وهو 1 لان

3)    توفر العنصر النظير لكل عنصر على النحو

                                          

4)

                                 

اذن النظام  يحقق الخاصية التجميعية .

ولتوفر شروط الزمرة وكذلك لان لذلك فأن  هي زمرة جزئية من نفسها .

 

b) بالنسبة للنظام  نكون اولا جدولا لهذا النظام على النحو :

                                 

العملية مغلقة على المجموعة وتمتلك العنصر المحايد وهو 1 ونظير العنصر المحايد هو نفسه وكذلك فهي تجميعية . لذلك فأن النظام يشكل زمرة وبما ان فالنظام هو زمرة جزئية من الزمرة الاصلية .

 

c) نكون جدول العملية للنظام على النحو :

                                          

عملية  ليست مغلقة لان العنصر وعليه فالنظام

لايشكل زمرة جزئية من الزمرة الاصلية .

 

d) نشكل جدول العملية  على العملية على النحو :

                       

من الجدول نلاحظ ان العنصر وعليه فالعملية ليست مغلقة على المجموعة .

2) نشكل جدول العملية :

                                 

نلاحظ من الجدول ان العملية ليست مغلقة على المجموعة  لان  فأن النظام لايشكل زمرة جزئية من .

 

f) نكون جدول العملية على المجموعة على النحو :

                       

بالنظر للجدول نلاحظ ان النظام يحقق شروط الزمرة .

وبما ان فأن النظام زمرة جزئية من .

 

g) نكون جدول العملية على المجموعة على النحو

                       

نلاحظ من الجدول ان العملية ليست ثنائية مغلقة على المجموعة  وبالتالي فهي ليست زمرة جزئية من الزمرة .

 

س 5 : لتكن  مجموعة المصفوفات المربعة من الرتبة 2 أي ان

                       

حيث  مجموعة الاعداد الحقيقية .

ولتكن العملية عملية الجمع العادية للمصفوفات أي ان

                       

ولتكن المصفوفة وهي المصفوفة المتماثلة .

فهل تعتبر الزمرة زمرة جزئية من الزمرة ؟

 

الحل : ليكن لدينا المصفوفتين

             

    

وهذه مصفوفة متماثلة من الرتبة 2.

                                          

اذن زمرة جزئية من الزمرة

 

 

س 6 : لتكن زمرة الاعداد الصحيحة بالنسبة لعملية الجمع العادية ولتكن حيث مجموعة الاعداد الصحيحة الزوجية فهل زمرة جزئية من الزمرة .

 

الحل : وان تمتلك نفس العنصر المحايد وعليه فأن زمرة جزئية من الزمرة .

 

س 7 : ليكن النظام حيث مجموعة الاعداد الفردية ,+ هي عملية الجمع الاعتيادية .فهل النظام يشكل زمرة جزئية من الزمرة .

 

الحل : نعلم ان

       وعليه فأن النظام لايشكل زمرة وبالتالي فأن لايشكل زمرة جزئية من الزمرة .

 

 

س 8 : هل زمرة جزئية من الزمرة  ؟

 

الحل : على الرغم من ان  الاان العنصر المحايد بالنسبة للعملية الاولى هو الصفر بينما بالنسبة لعملية الضرب فهو 1 ولاختلاف المحايدين وحسب تعريف الزمرة الجزئية فأن هذا تناقض ؟

 

 

تمارين محلولة على الفصل الرابع

 

س 1 : لتكن ولتكن العملية هي عملية الضرب الساعاتي بالنسبة للعدد 5 والمطلوب :

1) اثبات ان النظام الرياضي يشكل زمرة .

2) اذا كان النظام يشكل زمرة اوجد جميع مولدات عناصر هذه الزمرة .

3) بين مااذا كان النظام يشكل زمرة دورية ام لا.

 

الحل : 1) النظام الرياضي يشكل زمرة لانه يحقق شروط الزمرة من حيث وجود العنصر المحايد وهو 1 وان لكل عنصر نظير حيث

                   

وكذلك

                  

وهذا مانسميه بالخاصية التجميعية .

2) اما للبحث عن المولدات لعناصر الزمرة فأننا نرفع كل عنصر ماعدا المحايد لعدة قوى فكل عنصر يولد عناصر المجموعة الاصلية فيسمى مولدا على النحو :

                            

ويما ان قوى العنصر 2 ولدت جميع عناصر الزمرة الاصلية

اذن 2 مولدا للزمرة ويمكن التعبير عنه بالصيغة التالية

نتناول العنصر 3 ثم نأخذ قوى هذا العنصر على النحو :

                            

اذن العنصر 3 عنصر مولدا .

نتناول العنصر 4 ثم نأخذ قوى هذا العنصر على النحو :

                            

نقول عن العنصر 4 بانه ليس مولدا.

3) لكون الزمرة تحتوي على الاقل مولدا فتسمى الزمرة بالزمرة الدورية .

 

س 2 : لدينا المجموعة  عملية الجمع الساعاتي بالنسبة للعدد 5 والمطلوب :

1) هل النظام الرياضي  تشكل زمرة .

2) اوجد جميع مولدات عناصر الزمرة ان وجدت .

3) هل الزمرة دورية .

الحل : 1) النظام يشكل زمرة لوجود العنصر المحايد وهو الصفر كما يبدو في الجدول (1-4)

                            

                             جدول (1-4)

وان لكل عنصر في الزمرة نظير على النحو :

                                     

 

2) لايجاد المولدات لهذه الزمرة نبدأ بجمع العدد مع نفسه عدة مرات حتى نحصل على العنصر المحايد.

                  

اذن العنصر 1 مولد .

                  

اذن العنصر 2 هو عنصر مولد

                  

اذن العنصر 4 هو عنصر مولد .

نلاحظ ان الزمرة  تحتوي على الاقل مولدا . وعليه فأن الزمرة دورية .

 

س 3 : لتكن ولتكن عملية الضرب العادية على الاعداد المركبة

فهل النظام الرياضي تشكل زمرة دورية ؟

 

الحل : نكون اولا جدول العملية كما في جدول (2-4)

                            

                                      جدول (2-4)

من الجدول (2-4) نلاحظ ان النظام يشكل زمرة لتوفر شروط الزمرة.

وللبحث عن المولدات للزمرة لاثبات مااذا كانت دورية ام لا

                                               

اذن العنصر -1 ليس مولدا.

                                     

اذن  يعتبر مولدا لعناصر الزمرة وعليه فأن الزمرة دورية .

 

س 4 : لتكن الزمرة اوجد رتبة العنصر 3 في هذه الزمرة ؟

 

الحل : لايجاد رتبة العنصر فأننا نبحث عن العنصر الذي به نرفع ذلك العنصر للحصول على العنصر المحايد وعليه فأن :

                                     

حيث القوة الرابعة للعنصر 3 ادت الى العنصر المحايد لذا فأن رتبة العنصر 3 من الرتبة الثالثة .

 

س 5 : اوجد رتبة العنصر 3 من الزمرة الدورية حيث مجموعة الاعداد الصحيحة , عملية الضرب الساعاتي بالنسبة للعدد 11 ثم اوجد رتبة الزمرة  ؟

 

الحل : لدينا

نحسب قوى العدد 3 حسب العملية المعرفة

                                     

اذن رتبة العنصر 3 هي الرتبة الخامسة .

ولبيان ان الزمرة زمرة دورية نبحث عن عنصر مولد على الاقل وذلك بالتجريب بالنسبة للعملية .

 

اذن العنصر 2 هو عنصر مولد . وعليه فأن الزمرة زمرة دورية .

 

س 6 : لدينا الزمرة الدورية حيث مجموعة الاعداد الصحيحة,  عملية الجمع الساعاتي بالنسبة للعدد 18 اوجد رتبة العنصر 10 ثم اوجد رتبة هذه الزمرة ؟

 

الحل : ان قيمة العنصر العاشر في المجموعة  هو الرقم 9 حيث  هي :

                            

لذا سنبحث عن العدد الذي لو اضفناه الى 9 لنتج الجمع يساوي العنصر 0 وهو العنصر المحايد الجمعي لهذه العملية وعليه :

                                               

لذا فان رتبة العنصر العاشر هي 9 .

تمارين محلولة على الفصل الرابع

 

س 1 : لتكن ولتكن العملية هي عملية الضرب الساعاتي بالنسبة للعدد 5 والمطلوب :

1) اثبات ان النظام الرياضي يشكل زمرة .

2) اذا كان النظام يشكل زمرة اوجد جميع مولدات عناصر هذه الزمرة .

3) بين مااذا كان النظام يشكل زمرة دورية ام لا.

 

الحل : 1) النظام الرياضي يشكل زمرة لانه يحقق شروط الزمرة من حيث وجود العنصر المحايد وهو 1 وان لكل عنصر نظير حيث

                   

وكذلك

                  

وهذا مانسميه بالخاصية التجميعية .

2) اما للبحث عن المولدات لعناصر الزمرة فأننا نرفع كل عنصر ماعدا المحايد لعدة قوى فكل عنصر يولد عناصر المجموعة الاصلية فيسمى مولدا على النحو :

                            

ويما ان قوى العنصر 2 ولدت جميع عناصر الزمرة الاصلية

اذن 2 مولدا للزمرة ويمكن التعبير عنه بالصيغة التالية

نتناول العنصر 3 ثم نأخذ قوى هذا العنصر على النحو :

                            

اذن العنصر 3 عنصر مولدا .

نتناول العنصر 4 ثم نأخذ قوى هذا العنصر على النحو :

                            

نقول عن العنصر 4 بانه ليس مولدا.

3) لكون الزمرة تحتوي على الاقل مولدا فتسمى الزمرة بالزمرة الدورية .

 

س 2 : لدينا المجموعة  عملية الجمع الساعاتي بالنسبة للعدد 5 والمطلوب :

1) هل النظام الرياضي  تشكل زمرة .

2) اوجد جميع مولدات عناصر الزمرة ان وجدت .

3) هل الزمرة دورية .

الحل : 1) النظام يشكل زمرة لوجود العنصر المحايد وهو الصفر كما يبدو في الجدول (1-4)

                            

                             جدول (1-4)

وان لكل عنصر في الزمرة نظير على النحو :

                                     

 

2) لايجاد المولدات لهذه الزمرة نبدأ بجمع العدد مع نفسه عدة مرات حتى نحصل على العنصر المحايد.

                  

اذن العنصر 1 مولد .

                  

اذن العنصر 2 هو عنصر مولد

                  

اذن العنصر 4 هو عنصر مولد .

نلاحظ ان الزمرة  تحتوي على الاقل مولدا . وعليه فأن الزمرة دورية .

 

س 3 : لتكن ولتكن عملية الضرب العادية على الاعداد المركبة

فهل النظام الرياضي تشكل زمرة دورية ؟

 

الحل : نكون اولا جدول العملية كما في جدول (2-4)

                            

                                      جدول (2-4)

من الجدول (2-4) نلاحظ ان النظام يشكل زمرة لتوفر شروط الزمرة.

وللبحث عن المولدات للزمرة لاثبات مااذا كانت دورية ام لا

                                               

اذن العنصر -1 ليس مولدا.

                                     

اذن  يعتبر مولدا لعناصر الزمرة وعليه فأن الزمرة دورية .

 

س 4 : لتكن الزمرة اوجد رتبة العنصر 3 في هذه الزمرة ؟

 

الحل : لايجاد رتبة العنصر فأننا نبحث عن العنصر الذي به نرفع ذلك العنصر للحصول على العنصر المحايد وعليه فأن :

                                     

حيث القوة الرابعة للعنصر 3 ادت الى العنصر المحايد لذا فأن رتبة العنصر 3 من الرتبة الثالثة .

 

س 5 : اوجد رتبة العنصر 3 من الزمرة الدورية حيث مجموعة الاعداد الصحيحة , عملية الضرب الساعاتي بالنسبة للعدد 11 ثم اوجد رتبة الزمرة  ؟

 

الحل : لدينا

نحسب قوى العدد 3 حسب العملية المعرفة

                                     

اذن رتبة العنصر 3 هي الرتبة الخامسة .

ولبيان ان الزمرة زمرة دورية نبحث عن عنصر مولد على الاقل وذلك بالتجريب بالنسبة للعملية .

 

اذن العنصر 2 هو عنصر مولد . وعليه فأن الزمرة زمرة دورية .

 

س 6 : لدينا الزمرة الدورية حيث مجموعة الاعداد الصحيحة,  عملية الجمع الساعاتي بالنسبة للعدد 18 اوجد رتبة العنصر 10 ثم اوجد رتبة هذه الزمرة ؟

 

الحل : ان قيمة العنصر العاشر في المجموعة  هو الرقم 9 حيث  هي :

                            

لذا سنبحث عن العدد الذي لو اضفناه الى 9 لنتج الجمع يساوي العنصر 0 وهو العنصر المحايد الجمعي لهذه العملية وعليه :

                                               

لذا فان رتبة العنصر العاشر هي 9 .

اسئلة واجوبة على الفصل الخامس

 

س 1 : لتكن زمرة كلاين المبينة بالجدول ادناه :

                                          

واذا كانت فأن زمرة جزئية من الزمرة .

اوجد جميع المرافقات اليمنى واليسرى ل  في .

 

الحل : لايجاد المرافقات اليمنى :

             

اما المرافقات اليسرى فهي :

                                 

س 2 : لتكن زمرة كلاين الرباعية ولتكن زمرة جزئية من اوجد جميع المرافقات اليسرى للمجموعة في .

 

الحل : ان المرافقات اليسرى هي المجموعات الناتجة من ارتباط عناصر المجموعة مع عناصر المجموعة الاصلية من اليسار وفق العملية المعرفة بجدول كلاين على النحو :

                          

س 3 : لتكن مجموعة الاعداد الصحيحة وان زمرة ابدالية , ولتكن

من مضاعفات العدد 5 فهل النظام يشكل زمرة جزئية من الزمرة ؟ ثم اذا كان بالايجاب فأوجد المرافقات اليسرى واليمنى للمجموعة في .

 

الحل : من الواضح ان تشكل زمرة لانها تحقق شروط الزمرة .

وان وانه فان الزمرة تشكل زمرة جزئية من الزمرة   اما بالنسبة للمرافقات اليسرى فهي :

             

نلاحظ ان المرافقات اليمنى تتطابق مع المرافقات اليسرى وان  تتطابق مع وان تتابق مع وهكذا , ولذا فهناك خمسة مرافقات مختلفة من في .

ونلاحظ ايضا ان :

                       

اسئلة واجوبة على الفصل الخامس

 

س 1 : لتكن زمرة كلاين المبينة بالجدول ادناه :

                                          

واذا كانت فأن زمرة جزئية من الزمرة .

اوجد جميع المرافقات اليمنى واليسرى ل  في .

 

الحل : لايجاد المرافقات اليمنى :

             

اما المرافقات اليسرى فهي :

                                 

س 2 : لتكن زمرة كلاين الرباعية ولتكن زمرة جزئية من اوجد جميع المرافقات اليسرى للمجموعة في .

 

الحل : ان المرافقات اليسرى هي المجموعات الناتجة من ارتباط عناصر المجموعة مع عناصر المجموعة الاصلية من اليسار وفق العملية المعرفة بجدول كلاين على النحو :

                          

س 3 : لتكن مجموعة الاعداد الصحيحة وان زمرة ابدالية , ولتكن

من مضاعفات العدد 5 فهل النظام يشكل زمرة جزئية من الزمرة ؟ ثم اذا كان بالايجاب فأوجد المرافقات اليسرى واليمنى للمجموعة في .

 

الحل : من الواضح ان تشكل زمرة لانها تحقق شروط الزمرة .

وان وانه فان الزمرة تشكل زمرة جزئية من الزمرة   اما بالنسبة للمرافقات اليسرى فهي :

             

نلاحظ ان المرافقات اليمنى تتطابق مع المرافقات اليسرى وان  تتطابق مع وان تتابق مع وهكذا , ولذا فهناك خمسة مرافقات مختلفة من في .

ونلاحظ ايضا ان :

                       

تمارين محلولة على الفصل السادس

 

س 1 : لتكن زمرة الاعداد الحقيقية تحت عملية الجمع العادية ولتكن  زمرة الاعداد الحقيقية ماعدا الصفر تحت عملية الضرب العادية وليكن :

                                     

معرفا بالقاعدة                     

بين ان اقتران حافظ للعمليات ؟

 

الحل : نبدأ بالتحقق من شروط الاقتران الحافظ للعمليات على النحو التالي :

          لتكن

من خواص الاسس

                            

من  و  نجد ان اقتران حافظ للعمليات الاانه ليس شاملا لان دوما .

 

س 2 : لتكن  حيث  عملية الجمع الساعاتي بالنسبة للعدد 4 ولتكن الزمرة حيت الضرب الساعاتي بالنسبة للعدد 5 وليكن معرفا بالقاعدة :

                                     

فهل اقتران حافظ للعمليات ؟

 

الحل : نبدأ بتكوين جدولي الجمع والضرب للنظامين  على النحو التالي :

                            

ثم نبدأ بتحقيق شروط الاقتران حافظ للعمليات على النحو التالي :

                            

من  و  نستنتج ان

                            

أي ان اقتران حافظ للعمليات .

 

س 3 : لتكن زمرة الاعداد الصحيحة تحت عملية الجمع العادية وليكن لكل بين ان الاقتران حافظ للعمليات ؟

 

الحل : نبدأ بتحقيق شرو كون الاقتران حافظ للعمليات

                            

نلاحظ من  و ان :

                                     

أي ان الاقتران اقتران حافظ للعمليات .

 

س 4 : لتكن كما سبق في مثال سابق فهل الزمرتان متشاكلتان ؟

 

الحل : لقد سبق وان بينا ان اقتران حافظ للعمليات وبما ان

                                     

من هنا نرى ان الاقتران هو اقتران واحد لواحد ولتوفر الشرطين فان الزمرتان

متشاكلتان .

 

س 5 : لتكن زمرتا الاعداد الحقيقية تحت عمليتي الضرب والجمع الاعتيادية وليكن

                  

فهل الزمرتان متشاكلتان ؟

 

الحل : الاقتران اقتران شامل وواحد لواحد لانه لو كان

                                     

فأن الاقتران هو اقتران واحد لواحد وكذلك اذا كانت :

         

وعليه فأن اقتران تأصل شامل وبالتالي فأن الزمرتين متشاكاتان .

 

س 6 : لتكن زمرة التماثلات للمجموعة والمتمثلة

 بالجدول (1-6) التالي :

                            

                                      جدول (1-6)

 بحيث ان :

         

فهل الزمرتين متشاكلتين ؟

 

الحل : الاقتران اقتران حافظ للعمليات لان

                                     

من  و  نجد ان

                                     

وكذلك

                                     

من  و  نلاحظ ان

                            

أي ان الاقتران اقتران حافظ للعمليات الا انه ليس شاملا كما لاحظنا اعلاه من المعطيات وعليه فأن احد شروط التشاكل لم يتحقق وبالتالي فأن الزمرتين  ليستا متشاكلتين .

 

س 7 : عودة الى السؤال السادس اوجد نواة (قرينة)الاقتران .

 

الحل : ان نواة الاقتران هي مجموعة العناصر التي صورة العنصر المحايد من الزمرة الثانية وعليه وحسب معطيات السؤال السابق فأن نواة الاقتران هي .

تمارين محلولة على الفصل السادس

 

س 1 : لتكن زمرة الاعداد الحقيقية تحت عملية الجمع العادية ولتكن  زمرة الاعداد الحقيقية ماعدا الصفر تحت عملية الضرب العادية وليكن :

                                     

معرفا بالقاعدة                     

بين ان اقتران حافظ للعمليات ؟

 

الحل : نبدأ بالتحقق من شروط الاقتران الحافظ للعمليات على النحو التالي :

          لتكن

من خواص الاسس

                            

من  و  نجد ان اقتران حافظ للعمليات الاانه ليس شاملا لان دوما .

 

س 2 : لتكن  حيث  عملية الجمع الساعاتي بالنسبة للعدد 4 ولتكن الزمرة حيت الضرب الساعاتي بالنسبة للعدد 5 وليكن معرفا بالقاعدة :

                                     

فهل اقتران حافظ للعمليات ؟

 

الحل : نبدأ بتكوين جدولي الجمع والضرب للنظامين  على النحو التالي :

                            

ثم نبدأ بتحقيق شروط الاقتران حافظ للعمليات على النحو التالي :

                            

من  و  نستنتج ان

                            

أي ان اقتران حافظ للعمليات .

 

س 3 : لتكن زمرة الاعداد الصحيحة تحت عملية الجمع العادية وليكن لكل بين ان الاقتران حافظ للعمليات ؟

 

الحل : نبدأ بتحقيق شرو كون الاقتران حافظ للعمليات

                            

نلاحظ من  و ان :

                                     

أي ان الاقتران اقتران حافظ للعمليات .

 

س 4 : لتكن كما سبق في مثال سابق فهل الزمرتان متشاكلتان ؟

 

الحل : لقد سبق وان بينا ان اقتران حافظ للعمليات وبما ان

                                     

من هنا نرى ان الاقتران هو اقتران واحد لواحد ولتوفر الشرطين فان الزمرتان

متشاكلتان .

 

س 5 : لتكن زمرتا الاعداد الحقيقية تحت عمليتي الضرب والجمع الاعتيادية وليكن

                  

فهل الزمرتان متشاكلتان ؟

 

الحل : الاقتران اقتران شامل وواحد لواحد لانه لو كان

                                     

فأن الاقتران هو اقتران واحد لواحد وكذلك اذا كانت :

         

وعليه فأن اقتران تأصل شامل وبالتالي فأن الزمرتين متشاكاتان .

 

س 6 : لتكن زمرة التماثلات للمجموعة والمتمثلة

 بالجدول (1-6) التالي :

                            

                                      جدول (1-6)

 بحيث ان :

         

فهل الزمرتين متشاكلتين ؟

 

الحل : الاقتران اقتران حافظ للعمليات لان

                                     

من  و  نجد ان

                                     

وكذلك

                                     

من  و  نلاحظ ان

                            

أي ان الاقتران اقتران حافظ للعمليات الا انه ليس شاملا كما لاحظنا اعلاه من المعطيات وعليه فأن احد شروط التشاكل لم يتحقق وبالتالي فأن الزمرتين  ليستا متشاكلتين .

 

س 7 : عودة الى السؤال السادس اوجد نواة (قرينة)الاقتران .

 

الحل : ان نواة الاقتران هي مجموعة العناصر التي صورة العنصر المحايد من الزمرة الثانية وعليه وحسب معطيات السؤال السابق فأن نواة الاقتران هي .

اسئلة واجوبة على الفصل السابع

 

س 1 : لدينا مجموعة الاعداد الصحيحة , عمليتا الجمع والضرب العاديتين فهل تمثل حلقة وحدة ؟

 

الحل : نعم تمثل حلقة لانها تحقق شروط الحلقة .

          ولانه يوجد العنصر المحايد وكذلك

                                               

حيث ان 1 يسمى المحايد الضربي للمجموعة  وبالتالي تسمى الحلقة  حلقة وحدة .

 

س 2 : هل حلقة وحدة ؟حيث هي مجموعة الاعداد الزوجية الصحيحة؟

 

الحل : تعتبر مجموعة الاعداد الزوجية مع عمليتي الجمع والضرب حلقة لانها تحقق شروط الحلقة الا انها ليست حلقة وحدة لان لاتمتلك العنصر المحايد الضربي في مجموعتها .

 

س 3 : لدينا المجموعة و هما عمليتا الجمع والضرب الساعاتي على بالنسبة للعدد 7 فهل النظام يشكل حلقة وحدة ؟

 

الحل : النظام الرياضي يشكل حلقة لانه يحقق شروط الحلقة ولان وهو المحايد الضربي بالنسبة للمجموعة وعليه فان النظام يشكل حلقة وحدة .

 

س 4 : لتكن المجموعة ولتكن العمليتين معرفتين على  بالجدولين (2-7),(1-7) على النحو التالي :

 

                                   

              جدول (2-7)                                         جدول (1-7)

 

يتضح من الجداول اعلاه ان العنصر المحايد بالنسبة لعملية الجمع هو العنصر .

والعنصر المحايد بالنسبة لعملية الضرب هو العنصر وبما انه يوجد محايد ضربي والنظام يحقق شروط الحلقة فأن الحلقة هي حلقة وحدة تبديلية .

 

س 5 : لتكن المجموعة وعرفنا العمليتين بالجدولين التالين :

                                     

                             جدول (4-7)             جدول (3-7)

 

الحل : نلاحظ من جدول (3-7) ان المحايد بالنسبة لعملية الجمع هو الصفر وان المحايد بالنسبة لعملية الضرب هو  وعليه فأن النظام يشكل حلقة تحتوي على عنصر محايد جمعي ووحدة فقط .

 

س 6 : لتكن العمليتان معرفتين على المجموعة بالجدولين (6-7),(5-7) على النحو :

         

     جدول (6-7)                            جدول (5-7)

فهل النظام يشكل حلقة تبديلية ؟

 

الحل : النظام يشكل حلقة لانه يحقق شروط الحلقة الاانها ليست حلقة تبديلية لاننا نلاحظ من جدول (6-7) ان بينما  ولان  لذا فهي ليست حلقة تبديلية .

 

س 6 : لتكن مجموعة المصفوفات المربعة من الرتبة 2 والتي عناصرها

                            

ولتكن عمليت جمع وضرب المصفوفات فهل النظام يشكل حلقة تبديلية .

 

الحل : النظام يشكل حلقة لانه يحقق شروط الحلقة الاانها ليست حلقة تبديلية لان الضرب على المصفوفات ليس ابدالي وبالتالي فأن ليست حلقة ابدالية .

اسئلة واجوبة على الفصل السابع

 

س 1 : لدينا مجموعة الاعداد الصحيحة , عمليتا الجمع والضرب العاديتين فهل تمثل حلقة وحدة ؟

 

الحل : نعم تمثل حلقة لانها تحقق شروط الحلقة .

          ولانه يوجد العنصر المحايد وكذلك

                                               

حيث ان 1 يسمى المحايد الضربي للمجموعة  وبالتالي تسمى الحلقة  حلقة وحدة .

 

س 2 : هل حلقة وحدة ؟حيث هي مجموعة الاعداد الزوجية الصحيحة؟

 

الحل : تعتبر مجموعة الاعداد الزوجية مع عمليتي الجمع والضرب حلقة لانها تحقق شروط الحلقة الا انها ليست حلقة وحدة لان لاتمتلك العنصر المحايد الضربي في مجموعتها .

 

س 3 : لدينا المجموعة و هما عمليتا الجمع والضرب الساعاتي على بالنسبة للعدد 7 فهل النظام يشكل حلقة وحدة ؟

 

الحل : النظام الرياضي يشكل حلقة لانه يحقق شروط الحلقة ولان وهو المحايد الضربي بالنسبة للمجموعة وعليه فان النظام يشكل حلقة وحدة .

 

س 4 : لتكن المجموعة ولتكن العمليتين معرفتين على  بالجدولين (2-7),(1-7) على النحو التالي :

 

                                   

              جدول (2-7)                                         جدول (1-7)

 

يتضح من الجداول اعلاه ان العنصر المحايد بالنسبة لعملية الجمع هو العنصر .

والعنصر المحايد بالنسبة لعملية الضرب هو العنصر وبما انه يوجد محايد ضربي والنظام يحقق شروط الحلقة فأن الحلقة هي حلقة وحدة تبديلية .

 

س 5 : لتكن المجموعة وعرفنا العمليتين بالجدولين التالين :

                                     

                             جدول (4-7)             جدول (3-7)

 

الحل : نلاحظ من جدول (3-7) ان المحايد بالنسبة لعملية الجمع هو الصفر وان المحايد بالنسبة لعملية الضرب هو  وعليه فأن النظام يشكل حلقة تحتوي على عنصر محايد جمعي ووحدة فقط .

 

س 6 : لتكن العمليتان معرفتين على المجموعة بالجدولين (6-7),(5-7) على النحو :

         

     جدول (6-7)                            جدول (5-7)

فهل النظام يشكل حلقة تبديلية ؟

 

الحل : النظام يشكل حلقة لانه يحقق شروط الحلقة الاانها ليست حلقة تبديلية لاننا نلاحظ من جدول (6-7) ان بينما  ولان  لذا فهي ليست حلقة تبديلية .

 

س 6 : لتكن مجموعة المصفوفات المربعة من الرتبة 2 والتي عناصرها

                            

ولتكن عمليت جمع وضرب المصفوفات فهل النظام يشكل حلقة تبديلية .

 

الحل : النظام يشكل حلقة لانه يحقق شروط الحلقة الاانها ليست حلقة تبديلية لان الضرب على المصفوفات ليس ابدالي وبالتالي فأن ليست حلقة ابدالية .

تمارين محلولة على الفصل الثامن

 

س 1 : لتكن هما عمليتي الجمع والضرب الساعاتي بالنسبة للعدد 6 والمطلوب :

1) تكوين جداول لعمليتي الجمع والضرب الساعاتي على عناصر .

2) هل النظام الرياضي يشكل حلقة .

3) واذا كان كذلك اوجد قواسم الصفر في هذه الحلقة .

 

الحل : 1) نبدأ بتكوين جدولي الجمع والضرب كما في جدولي (1-8),(2-8)

 

                

جدول (2-8)                                          جدول (1-8)

 

2) من الجدول (1-8) نلاحظ ان النظام يشكل حلقة عنصرها المحايد الجمعي هو الصفر وتحقق شروط الحلقة .

 

3) من الجدول (2-8) نلاحظ ان قواسم الصفر في هذه الحلقة هي لان :

                            

 

س 2 : لتكن ولتكن العمليتان معرفتين على المجموعة بالجدولين على النحو :

 

                         

          جدول (4-8)                       جدول (3-8)

والمطلوب ايجاد قواسم الصفر في هذه الحلقة ؟

 

الحل : نلاحظ من الجدولين (4-8),(3-8) ان النظام يشكل حلقة عنصرها المحايد هو ومن الجدول (4-8) نلاحظ ان :

                                     

وكذلك

                                     

اذن قواسم للصفر في هذه الحلقة هي .

 

س 3 : لتكن حلقة الاعداد الصحيحة تحت عمليتي الجمع والضرب العاديتين هل يوجد قواسم للصفر غي هذه الحلقة ؟

 

الحل : نعلم ان الصفر هو المحايد الجمعي للحلقة وحيث انه لايوجد عددان بحيث ان بينما  مثال ذلك :

                            

وعليه فأنه لايوجد قواسم للصفر في الحلقة .

 

س 4 : لتكن حلقة المصفوفات المربعة من الرتبة 2 التي مدخلاتها اعداد حقيقية تحت عمليتي الجمع والضرب للمصفوفات . فهل للحلقة قواسم للصفر ؟

 

الحل : نعم يوجد قواسم للصفر في الحلقة لاحظ ان هي العنصر المحايد الجمعي في ولو اخذنا مصفوفتين في مثل

 نلاحظ ان :

                            

ولتوفر هذا الشرط فان للحلقة قاسم للصفر .

 

س 5 : لتكن مجموعة الاعداد الصحيحة , مجموعة الاعداد النسبية , مجموعة الاعداد الحقيقية , عمليتا الجمع والضرب العاديتين فهل الانظمة التالية تشكل مجالا صحيحا ؟

 

الحل :  الانظمة تشكل حلقات تبديلية لانها تمتلك المحايد الجمعي وهو الصفر والمحايد الضربي وهو 1 وتحقق شروط الحلقة التبديلية الا انه ليس لاي منها قواسم للصفر لانه لايوجد عنصران مختلفان عن الصفر وحاصل ضربهما صفرا وانما يحقق كل نظام شروط المجال الصحيح أي لو اخترنا عنصرا من أي من المجموعات مثل  وكان .

 

س 6 : لتكن حلقة الاعداد الصحيحة تحت عمليتي الجمع والضرب العاديتين فهل حلقة الاعداد الزوجية الصحيحة حلقة مثالية من الحلقة  ؟

 

الحل : لاحظ انه اذا كان

وكذلك                    

وعليه فأن حلقة مثالية من الحلقة  .

 

س 7 : هل حلقة الاعداد الصحيحة تشكل حلقة مثالية من الحلقة ؟

 

الحل : تشكل حلقة الاعداد الصحيحة حلقة جزئية من حلقة الاعداد الحقيقية ولكن لو تناولنا العنصر والعنصر فان  وعليه فأن الحلقة ليست حلقة مثالية لحلقة الاعداد الحقيقية .

 

س 8 : لتكن حلقة المصفوفات المربعة من الرتبة 2 التي مدخلاتها اعداد صحيحة تحت عمليتي جمع وضرب المصفوفات أي ان :

                  

a)     على اعتبار ان فهل النظام يشكل حلقة مثالية يمنى من الحلقة ؟

b)    اذا كانت  فهل النظام يشكل حلقة مثالية يسرى من الحلقة ؟

c)     على اعتبار ان حيث مجموعة الاعداد الزوجية الصحيحة فهل حلقة مثالية للحلقة ؟

 

الحل : سنترك الاجابة على الاجزاء للطالب كتمرين .

 

س 9 : لتكن حلقة الاعداد الصحيحة تحت عمليتي الجمع والضرب العاديتين ولتكن :

                            

فهل الحلقات حلقات مثالية رئيسية من الحلقات  ؟

 

الحل : كون ان وكون الانظمة تحقق شروط الحلقة وعليه فأنها تشكل حلقات مثالية رئيسية بالاضافة الى ذلك فأن حلقة جزئية من الحلقة وكذلك ايضا حلقة جزئية من الحلقة  وان حلقة جزئية من الحلقة  .

تمارين محلولة على الفصل الثامن

 

س 1 : لتكن هما عمليتي الجمع والضرب الساعاتي بالنسبة للعدد 6 والمطلوب :

1) تكوين جداول لعمليتي الجمع والضرب الساعاتي على عناصر .

2) هل النظام الرياضي يشكل حلقة .

3) واذا كان كذلك اوجد قواسم الصفر في هذه الحلقة .

 

الحل : 1) نبدأ بتكوين جدولي الجمع والضرب كما في جدولي (1-8),(2-8)

 

                

جدول (2-8)                                          جدول (1-8)

 

2) من الجدول (1-8) نلاحظ ان النظام يشكل حلقة عنصرها المحايد الجمعي هو الصفر وتحقق شروط الحلقة .

 

3) من الجدول (2-8) نلاحظ ان قواسم الصفر في هذه الحلقة هي لان :

                            

 

س 2 : لتكن ولتكن العمليتان معرفتين على المجموعة بالجدولين على النحو :

 

                         

          جدول (4-8)                       جدول (3-8)

والمطلوب ايجاد قواسم الصفر في هذه الحلقة ؟

 

الحل : نلاحظ من الجدولين (4-8),(3-8) ان النظام يشكل حلقة عنصرها المحايد هو ومن الجدول (4-8) نلاحظ ان :

                                     

وكذلك

                                     

اذن قواسم للصفر في هذه الحلقة هي .

 

س 3 : لتكن حلقة الاعداد الصحيحة تحت عمليتي الجمع والضرب العاديتين هل يوجد قواسم للصفر غي هذه الحلقة ؟

 

الحل : نعلم ان الصفر هو المحايد الجمعي للحلقة وحيث انه لايوجد عددان بحيث ان بينما  مثال ذلك :

                            

وعليه فأنه لايوجد قواسم للصفر في الحلقة .

 

س 4 : لتكن حلقة المصفوفات المربعة من الرتبة 2 التي مدخلاتها اعداد حقيقية تحت عمليتي الجمع والضرب للمصفوفات . فهل للحلقة قواسم للصفر ؟

 

الحل : نعم يوجد قواسم للصفر في الحلقة لاحظ ان هي العنصر المحايد الجمعي في ولو اخذنا مصفوفتين في مثل

 نلاحظ ان :

                            

ولتوفر هذا الشرط فان للحلقة قاسم للصفر .

 

س 5 : لتكن مجموعة الاعداد الصحيحة , مجموعة الاعداد النسبية , مجموعة الاعداد الحقيقية , عمليتا الجمع والضرب العاديتين فهل الانظمة التالية تشكل مجالا صحيحا ؟

 

الحل :  الانظمة تشكل حلقات تبديلية لانها تمتلك المحايد الجمعي وهو الصفر والمحايد الضربي وهو 1 وتحقق شروط الحلقة التبديلية الا انه ليس لاي منها قواسم للصفر لانه لايوجد عنصران مختلفان عن الصفر وحاصل ضربهما صفرا وانما يحقق كل نظام شروط المجال الصحيح أي لو اخترنا عنصرا من أي من المجموعات مثل  وكان .

 

س 6 : لتكن حلقة الاعداد الصحيحة تحت عمليتي الجمع والضرب العاديتين فهل حلقة الاعداد الزوجية الصحيحة حلقة مثالية من الحلقة  ؟

 

الحل : لاحظ انه اذا كان

وكذلك                    

وعليه فأن حلقة مثالية من الحلقة  .

 

س 7 : هل حلقة الاعداد الصحيحة تشكل حلقة مثالية من الحلقة ؟

 

الحل : تشكل حلقة الاعداد الصحيحة حلقة جزئية من حلقة الاعداد الحقيقية ولكن لو تناولنا العنصر والعنصر فان  وعليه فأن الحلقة ليست حلقة مثالية لحلقة الاعداد الحقيقية .

 

س 8 : لتكن حلقة المصفوفات المربعة من الرتبة 2 التي مدخلاتها اعداد صحيحة تحت عمليتي جمع وضرب المصفوفات أي ان :

                  

a)     على اعتبار ان فهل النظام يشكل حلقة مثالية يمنى من الحلقة ؟

b)    اذا كانت  فهل النظام يشكل حلقة مثالية يسرى من الحلقة ؟

c)     على اعتبار ان حيث مجموعة الاعداد الزوجية الصحيحة فهل حلقة مثالية للحلقة ؟

 

الحل : سنترك الاجابة على الاجزاء للطالب كتمرين .

 

س 9 : لتكن حلقة الاعداد الصحيحة تحت عمليتي الجمع والضرب العاديتين ولتكن :

                            

فهل الحلقات حلقات مثالية رئيسية من الحلقات  ؟

 

الحل : كون ان وكون الانظمة تحقق شروط الحلقة وعليه فأنها تشكل حلقات مثالية رئيسية بالاضافة الى ذلك فأن حلقة جزئية من الحلقة وكذلك ايضا حلقة جزئية من الحلقة  وان حلقة جزئية من الحلقة  .

 

تمارين محلولة على الفصل التاسع

 

س 1 : لتكن حلقة الاعداد الصحيحة تحت عمليتي الجمع والضرب العاديتين , ولتكن حلقة تحت عمليتي الجمع والضرب المعرفتين في الجدولين (1-9),(2-9) على النحو التالي :

                  

                جدول (2-9)                 جدول (1-9)

وليكن           

بحيث ان

اذا كان

                  

فمثلا

فهل الاقتران اقتران حافظ للعمليات ؟

 

الحل : نلاحظ ان :

                      

وكذلك

                      

اذن  اقتران حافظ للعمليات من الحلقة الى الحلقة .

 

س 2 : لتكن حلقة ,  وليكن

                                     

فهل  اقتران حافظ للعمليات من الحلقة  ؟

 

الحل : لاحظ ان :

                  

وكذلك

                  

ولتوفر الشروط اذا اقتران حافظ للعمليات .

 

س 3 : لتكن كل من حلقة وليكن

          بحيث ان

                  

فهل  اقتران حافظ للعمليات من .

 

الحل : اذا عرفنا عمليتي الجمع والضرب على المجموعة على النحو التالي :

                            

فان النظام يشكل حلقة الجمع المباشر.

وكذلك

         

والان

         

وكذلك

         

 

اذن  اقتران حافظ للعمليات من الحلقة

 

س 4 : لتكن  الحلقة تحت عمليتي الجمع والضرب المعرفتين في الجدولين (3-9),(4-9) حيث على النحو :

 

         

        جدول (4-9)                         جدول (3-9)

ولتكن الحلقة تحت عمليتي الجمع والضرب المعرفتين في جدولي

 (5-9),(6-9) حيث على النحو :

                  

                   جدول (6-9)                              جدول (5-9)

 

وبنظرة سريعة على الجداول اعلاه فأننا نستطيع ان نلاحظ انهما متشابهة من العمليات الاانها مختلفة من حيث الرموز وترتيب العناصر ويمكن التعبير عن ذلك بطريقة اخرى على النحو التالي :

                  

من الواضح ان اقتران شامل وواحد لواحد أي اقتران تناظر من بالاضافة الى ذلك فأن اقتران حافظ للعمليات من الحلقة الى الحلقة ويسمى هذا النوع الخاص من الاقترانات الحافظة للعمليات أي اقتران التناظر الحافظ للعمليات بأقتران التشاكل .

 

س 5 : لنأخذ حلقة الاعداد الصحيحة تحت عمليتي الجمع والضرب الساعاتي بالنسبة للعدد 2 , والحلقة تحت عمليتي الجمع والضرب المعرفتين كما هو مبين في جدولي (5-9),(6-9) على النحو :

                            

                             جدول(6-9)            جدول(5-9)

واذا كان معرفا كما يلي :

                                     

فهل اقتران تشاكل بين هاتين الحلقتين ؟

 

الحل : نظرا لتوفر شروط التشاكل وحسب التعريف فان هو اقتران تشاكل بين الحلقتين .

 

س 6 : لتكن حلقة الاعداد الصحيحة تحت عمليتي الجمع والضرب العاديتين ولتكن حلقة الاعداد الصحيحة تحت عمليتي الجمع والضرب الساعاتي بالنسبة للعدد

                   باقي حاصل قسمة على  

فهل اقتران حافظ للعمليات ؟

 

الحل : من السهل التأكد ان  حافظ للعمليات ويترك كتمرين للقارئ .

تمارين محلولة على الفصل التاسع

 

س 1 : لتكن حلقة الاعداد الصحيحة تحت عمليتي الجمع والضرب العاديتين , ولتكن حلقة تحت عمليتي الجمع والضرب المعرفتين في الجدولين (1-9),(2-9) على النحو التالي :

                  

                جدول (2-9)                 جدول (1-9)

وليكن           

بحيث ان

اذا كان

                  

فمثلا

فهل الاقتران اقتران حافظ للعمليات ؟

 

الحل : نلاحظ ان :

                      

وكذلك

                      

اذن  اقتران حافظ للعمليات من الحلقة الى الحلقة .

 

س 2 : لتكن حلقة ,  وليكن

                                     

فهل  اقتران حافظ للعمليات من الحلقة  ؟

 

الحل : لاحظ ان :

                  

وكذلك

                  

ولتوفر الشروط اذا اقتران حافظ للعمليات .

 

س 3 : لتكن كل من حلقة وليكن

          بحيث ان

                  

فهل  اقتران حافظ للعمليات من .

 

الحل : اذا عرفنا عمليتي الجمع والضرب على المجموعة على النحو التالي :

                            

فان النظام يشكل حلقة الجمع المباشر.

وكذلك

         

والان

         

وكذلك

         

 

اذن  اقتران حافظ للعمليات من الحلقة

 

س 4 : لتكن  الحلقة تحت عمليتي الجمع والضرب المعرفتين في الجدولين (3-9),(4-9) حيث على النحو :

 

         

        جدول (4-9)                         جدول (3-9)

ولتكن الحلقة تحت عمليتي الجمع والضرب المعرفتين في جدولي

 (5-9),(6-9) حيث على النحو :

                  

                   جدول (6-9)                              جدول (5-9)

 

وبنظرة سريعة على الجداول اعلاه فأننا نستطيع ان نلاحظ انهما متشابهة من العمليات الاانها مختلفة من حيث الرموز وترتيب العناصر ويمكن التعبير عن ذلك بطريقة اخرى على النحو التالي :

                  

من الواضح ان اقتران شامل وواحد لواحد أي اقتران تناظر من بالاضافة الى ذلك فأن اقتران حافظ للعمليات من الحلقة الى الحلقة ويسمى هذا النوع الخاص من الاقترانات الحافظة للعمليات أي اقتران التناظر الحافظ للعمليات بأقتران التشاكل .

 

س 5 : لنأخذ حلقة الاعداد الصحيحة تحت عمليتي الجمع والضرب الساعاتي بالنسبة للعدد 2 , والحلقة تحت عمليتي الجمع والضرب المعرفتين كما هو مبين في جدولي (5-9),(6-9) على النحو :

                            

                             جدول(6-9)            جدول(5-9)

واذا كان معرفا كما يلي :

                                     

فهل اقتران تشاكل بين هاتين الحلقتين ؟

 

الحل : نظرا لتوفر شروط التشاكل وحسب التعريف فان هو اقتران تشاكل بين الحلقتين .

 

س 6 : لتكن حلقة الاعداد الصحيحة تحت عمليتي الجمع والضرب العاديتين ولتكن حلقة الاعداد الصحيحة تحت عمليتي الجمع والضرب الساعاتي بالنسبة للعدد

                   باقي حاصل قسمة على  

فهل اقتران حافظ للعمليات ؟

 

الحل : من السهل التأكد ان  حافظ للعمليات ويترك كتمرين للقارئ .

 

تمارين محلولة على الفصل العاشر

 

س 1 : اذا كان اوجد ؟

 

الحل : عند البحث عن ناتج الجمع فأننا نبدأ بجمع الحدود المتشابهة :

                  

 

س 2 : ليكن اوجد

 

الحل : نبدأ يأستخدام علاقة الضرب وذلك بتحديد عوامل كل من كثيري الحدود على النحو التالي :

                  

ومن القاعدة بان

                  

حيث   

وبتبيق هذه القاعدة فأن :

                   وعليه يكون ناتج الضرب هو :

         

 

س 3 : اذا كان حلقة الاعداد الصحيحة تحت عمليتي الجمع والضرب العاديتين واذا كان لدينا :

                  

اوجد درجة والحد الثابت لكل اقتران ؟

 

الحل : درجة الاقتران الاول من الدرجة الثالثة لان اعلى اس هو 3 والحد الثابت 4 .

درجة الاقتران الثاني من الدرجة الاولى والحد الثابت هو الصفر .

درجة الاقتران الثالث من الدرجة صفر والحد الثابت هو 6 .

درجة الاقتران الرابع من الدرجة الرابعة والحد الثابت هو صفر .

 

س 4 : لتكن حلقة الاعداد الصحيحة تحت عمليتي الجمع والضرب الساعاتي بالنسبة للعدد 6 واذا كانت :

                                     

وان    

فأثبت ان درجة درجة درجة  .

 

الحل : من المعروف ان ليست مجالا صحيحا وان درجة

وان درجة  والان

         

نلاحظ ان الضرب تم بالنسبة للعدد 6 وان درجة هي 2.

بينما درجة درجة

نصل الى نتيجة ان درجة  درجة درجة .

 

س 5 : اذا كانت حلقة الاعداد الصحيحة تحت عمليت الجمع والضرب فأثبت ان درجة درجة درجة

 

الحل : نعلم ان مجال صحيح وعليه فان مجال صحيح والان

         

وهذا الناتج من الدرجة الثالثة وبما ان درجة ودرجة

                  

أي ان درجة درجة درجة

ويتم المطلوب .

 

س 6 : لتكن حلقة الاعداد الحقيقية تحت عمليتي الجمع والضرب العاديتين واذا كان , فهل قاسما من قواسم ؟

 

الحل : حيث ان وهذا يساوي حيث  أي ان عامل من عوامل أي ان هو قاسم من قواسم

وهو المطلوب .

 

س 7 : لتكن حلقة الاعداد الصحيحة تحت عمليتي الجمع والضرب العاديتين واذا كان  بين ان قاسم من قواسم ثم اوجد باقي القواسم ؟

 

الحل : نظرا لان

                            

نلاحظ ان هو قاسم للاقتران وكذلك  تعتبر قواس اخرى للاقتران .

 

س 8 : لتكن حلقة الاعداد الصحيحة تحت عمليتي الجمع والضرب العاديتين  اوجد ناتج القسمة  ثم الباقي  ؟

 

الحل : نستطيع كتابة الاقتران على الصورة التالية :

                            

نلاحظ ان اما الباقي

 

 

س 9 : لتكن حلقة الاعداد الصحيحة تحت عمليتي الجمع والضرب العاديتين , حلقة الاعداد الحقيقية بالطبع فأن  واذا كان

واذا كان  فأوجد باقي ناتج القسمة ؟

 

الحل : بأستخدام النظرية :

                  

 

س 10 : لتكن حلقة الاعداد الصحيحة تحت عمليتي الجمع والضرب العاديتين واذا كان اوجد جذور الاقتران  ؟

 

الحل : نأخذ ثم نجد الصورة في الاقتران

                                       

 هو احد الجذور وكذلك  الجذر الاخر .

تمارين محلولة على الفصل العاشر

 

س 1 : اذا كان اوجد ؟

 

الحل : عند البحث عن ناتج الجمع فأننا نبدأ بجمع الحدود المتشابهة :

                  

 

س 2 : ليكن اوجد

 

الحل : نبدأ يأستخدام علاقة الضرب وذلك بتحديد عوامل كل من كثيري الحدود على النحو التالي :

                  

ومن القاعدة بان

                  

حيث   

وبتبيق هذه القاعدة فأن :

                   وعليه يكون ناتج الضرب هو :

         

 

س 3 : اذا كان حلقة الاعداد الصحيحة تحت عمليتي الجمع والضرب العاديتين واذا كان لدينا :

                  

اوجد درجة والحد الثابت لكل اقتران ؟

 

الحل : درجة الاقتران الاول من الدرجة الثالثة لان اعلى اس هو 3 والحد الثابت 4 .

درجة الاقتران الثاني من الدرجة الاولى والحد الثابت هو الصفر .

درجة الاقتران الثالث من الدرجة صفر والحد الثابت هو 6 .

درجة الاقتران الرابع من الدرجة الرابعة والحد الثابت هو صفر .

 

س 4 : لتكن حلقة الاعداد الصحيحة تحت عمليتي الجمع والضرب الساعاتي بالنسبة للعدد 6 واذا كانت :

                                     

وان    

فأثبت ان درجة درجة درجة  .

 

الحل : من المعروف ان ليست مجالا صحيحا وان درجة

وان درجة  والان

         

نلاحظ ان الضرب تم بالنسبة للعدد 6 وان درجة هي 2.

بينما درجة درجة

نصل الى نتيجة ان درجة  درجة درجة .

 

س 5 : اذا كانت حلقة الاعداد الصحيحة تحت عمليت الجمع والضرب فأثبت ان درجة درجة درجة

 

الحل : نعلم ان مجال صحيح وعليه فان مجال صحيح والان

         

وهذا الناتج من الدرجة الثالثة وبما ان درجة ودرجة

                  

أي ان درجة درجة درجة

ويتم المطلوب .

 

س 6 : لتكن حلقة الاعداد الحقيقية تحت عمليتي الجمع والضرب العاديتين واذا كان , فهل قاسما من قواسم ؟

 

الحل : حيث ان وهذا يساوي حيث  أي ان عامل من عوامل أي ان هو قاسم من قواسم

وهو المطلوب .

 

س 7 : لتكن حلقة الاعداد الصحيحة تحت عمليتي الجمع والضرب العاديتين واذا كان  بين ان قاسم من قواسم ثم اوجد باقي القواسم ؟

 

الحل : نظرا لان

                            

نلاحظ ان هو قاسم للاقتران وكذلك  تعتبر قواس اخرى للاقتران .

 

س 8 : لتكن حلقة الاعداد الصحيحة تحت عمليتي الجمع والضرب العاديتين  اوجد ناتج القسمة  ثم الباقي  ؟

 

الحل : نستطيع كتابة الاقتران على الصورة التالية :

                            

نلاحظ ان اما الباقي

 

 

س 9 : لتكن حلقة الاعداد الصحيحة تحت عمليتي الجمع والضرب العاديتين , حلقة الاعداد الحقيقية بالطبع فأن  واذا كان

واذا كان  فأوجد باقي ناتج القسمة ؟

 

الحل : بأستخدام النظرية :

                  

 

س 10 : لتكن حلقة الاعداد الصحيحة تحت عمليتي الجمع والضرب العاديتين واذا كان اوجد جذور الاقتران  ؟

 

الحل : نأخذ ثم نجد الصورة في الاقتران

                                       

 هو احد الجذور وكذلك  الجذر الاخر .

 

تمارين محلولة على الفصل الحادي عشر

 

س 1 : هل تشكل مجموعة الاعداد النسبية (مع عمليتي الجمع والضرب العاديتين ) حقلا علما بأن :

                            

الحل : ان النظام الرياضي يشكل حقلا لان شرو الحقل متحققة من حيث المحايدات الجمعية والضرب ووجود النظير لكل عنصر وهكذا من شروط .

 

س 2 : اذا كانت مجموعة الاعداد الحقيقية فهل النظام يشكل حقلا علما بأن (هي مجموعة الاعداد الحقيقية وان  هما عمليتا الجمع والضرب الاعتياديتين).

 

الحل : ان النظام يشكل حقلا لانه يحقق شروط الحقل .

 

س 3 : لتكن مجموعة الاعداد المركبة ولتكن عمليتا هما الجمع والضرب على الاعداد المركبة على النحو

                                     

 هي مجموعة الاعداد الحقيقية

فهل النظام يشكل حقلا ؟

 

الحل : نلاحظ اولا ان عملية الجمع والضرب مغلقة على على النحو :

                  

وان تحقق شروط الحقل حيث العنصر المحايد الضربي لهذا الحقل هو والنظير الضربي للعنصر هو العنصر

                            

وعليه فأن النظام يشكل حقلا .

 

س 4 : هل الانظمة  تشكل حقلا ؟

 

الحل : النظام لايشكل حقلا لان النظام ليس نظاما متناظرا أي لايوجد لكل عنصر في نظيرا ضربيا في وهذا شرط كاف لاثبات ان النظام ليس حقلا .

واما بالنسبة للنظام حيث مجموعة الاعداد الطبيعية فلايشكل حقلا لان النظام ليس نظاما متناظرا .

 

س 5 : لتكن مجموعة الاعداد الحقيقية من الصورة حيث حيث مجموعة الاعداد النسبية فهل يشكل النظام مثلا ؟حيث عمليتا الجمع والضرب العاديتين .

 

الحل : ان النظام يشكل حقلا لانه يحقق شروط الحقل وان العنصر المحايد الضربي في هو العنصر  وان لكل عنصر من عناصر  نظير ضربي هو :

                   عندما

 

س 6 : لتكن مجموعة الاعداد الحقيقية , مجموعة الاعداد النسبية فهل النظام حقلا جزئيا من الحقل  ؟

 

الحل : ان وان النظام يشكل حقلا كما درسنا سابقا فأستنادا للنظرية فأن الحقل هو حقل جزئي من الحقل .